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第227章 马飞随口说一句中值定理也太厉害了吧什么都能扯得上然后群里纷纷点赞（第2页）

好了看上一篇的末尾的

【例5】e＜a＜b，证：a^b＞b^a.

证明：

【趁笔记本系统更新看不到答案我先思考一下，这里肯定是和函数单调性相关的，所以会有构造函数，会有一阶导数，然后呢只有一个不等式，因为＞e，所以很可能lnx也相关】

【我觉得应该是构造一个跟e^blna-e^alnb相关的，那可以直接就是e^x，然后只要证明blna＞alnb不就行了吗？因为e^x在x＞0上递增啊。好了来看汤老师怎么做的】

证明：

要证a^b＞b^a，即证blna-alnb＞0，

令f（x）=xlna-alnx，f（a）=0，

f'（x）=lna-ax＞0，（a＜x＜b）

则f（x）在[a，b]单调递增.

∴x＞a，f（x）＞f（a）=0，

∵b＞a，∴f（b）＞f（a）=0.

∴blna-alnb＞0，

∴a^b＞b^a.

【前面是判断单调性，后面例题是利用单调性做事】

【例6】证：当x＞1时，2（x）^?＞3-1x.

证明：令f（x）=2（x）^?-3+1x，f（1）=0，

f'（x）=[x^（-?）]-1x2＞0，（x＞1）

则f（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，

即2（x）^?＞3-1x.

【单调性的重要应用，证明不等式】

二、函数的凹凸性

1

f（（x1+x2）2）＜[f（x1）+f（x2）]2【凹】

f（（x1+x2）2）＞[f（x1）+f（x2）]2【凸】

2判别法

引理【……二阶】

【证明】【……泰勒……】

……

睡一会儿，有点困。13：37。

……

14：53。

【注解】若f''（x）＞0，当x≠x0时，f（x）＞f（x0）+f'（x0）（x-x0）；

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