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第226章 说着没人打卡还不如解散群的马飞其实是想表达最近大家都不认真打卡了（第1页）

2020年8月14日。

三个中值定理，罗尔、拉格朗日、柯西。层层递进。罗尔是端点相等有其中一点导数等于0，而把这两点倾斜就变成了拉格朗日，其中肯定存在和斜线平行的，继续变成两个函数除的话，就直接是中间导数除。我是这样理解。

【例2】f（x）二阶可导，lim（x→0）f（x）x=0，f（1）=0，求证：?ξ∈（0，1），使f''（ξ）=0.

证明：

1°，

∵lim（x→0）f（x）x=0，

∴lim（x→0）f（x）=0，

【可导一定连续】

又∵f（x）连续，

【极限值等于函数值】

∴f（0）=0

0=lim（x→0）f（x）=lim（x→0）[f（x）-f（0）]（x-0）=f'（0），

∴f（0）=0，f'（0）=0，

2°，

∵f（0）=f（1）=0，

∴?c∈（0，1），使f'（c）=0，

3°，

∵f'（0）=f'（c）=0，

∴?ξ∈（0，c）?（0，1），使f''（ξ）=0.

【例3】证明：x＞0时，e^x＞1+x.

证：令f（t）=e^t，f'（t）=e^t.

对x＞0，f（x）-f（0）=f'（ξ）（x-0），（0＜ξ＜x）

即e^x-1=xe^ξ.

∵ξ＞0，∴e^ξ＞1.

∴e^x-1=xe^ξ＞x

即e^x＞1+x，（x大于0）

【例4】0＜a＜b，证（b-a）b＜lnba＜（b-a）a，

【这道题看起来一筹莫展，如果见到三个，要有两个拉格朗日的想法】

证明：令f（x）=lnx，f'（x）=1x≠0，（a＜x＜b），

lnba=lnb-lna=f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）=（b-a）ξ

∵a＜ξ＜b

∴1b＜1ξ＜1a

推出

（b-a）b＜（b-a）ξ＜（b-a）a

∴（b-a）b＜lnba＜（b-a）a.

好的到这里3.1微分中值定理就结束了。

下一节是3.2洛必达法则。

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